我们在初中都学过物理，知道电子绕着一个坚硬的原子核快速运动，有点像太阳系中各个行星绕着太阳转，这个模型被称为“卢瑟福行星模型”。其实在这个模型之前，还有“枣糕模型”，在这个"枣糕模型"中，电子就像大枣一样，一个一个被镶嵌在糕点里，这个模型是汤姆逊（英国物理学家，-）提出来的。也就是说，在20世纪初，科学家们对原子内部到底是个什么样子并不清楚，只能通过各种实验去猜测，卢瑟福（英国物理学家，-）就做了非常著名的

粒子散射实验，得出结论，在原子的中心应该有一个非常坚硬的“核”，而其它地方都是空的，电子则在绕着核旋转，大致就是下面这张图展示的样子。

如果不仔细想的话，行星模型似乎是顺利成章的，因为经典的牛顿力学在解释行星运动规律方面简直是游刃有余，可以说一切尽在掌握中，将行星模型搬到原子内部也是自然而然的事情。但是如果仔细一想的话，这里有一个很大的漏洞，比如地球虽然绕着太阳在转，但是地球并不会掉在太阳上，这个道理很简单，用牛顿力学就能说得清楚，因为太阳与地球有万有引力，而这个引力恰好等于地球绕太阳旋转时的向心力，即：万有引力=向心力，所以地球就可以一直绕着太阳转，没事，不用担心地球会一头撞在太阳上，再说外太空也没有空气阻力，也没有“以太”，是彻底的真空地带，地球不会遇到任何的阻力，永远绕着太阳旋转。

可是行星模型用在原子内部就出问题了，电子是带负电荷，原子核带正电荷，正电荷与负电荷之间有库仑力，库伦力与万有引力在形式上很像，下面这个表就对库伦力与万有引力做了比对。

按照我们上面说的，库仑力可以充当电子绕核旋转所需的向心力，这样就可以一直旋转下去而不至于撞在原子核上，但问题恰恰就出在这里，地球是整体不带电荷的，太阳也是，引力与电荷无关，但是电子带负电，原子核带正电，库仑力确实可以用作电子绕核的向心力，只不过电子在绕核运动的时候相当于一个变化的电流，并且向外辐射电磁能量，随着电子能量很快被消耗，瞬间电子就会一头撞在原子核上，与原子核拥抱在一起，如果这种情况发生的话，诺大的地球就可能就会缩成一个乒乓球大小的体积，但是现实却是电子永远都在绕着原子核旋转，不会撞在原子核上，地球也没有缩成乒乓球，这又怎么解释呢？

解释这个问题很难，物理学家们都在为解释这个问题而努力，玻尔（丹麦物理学家，-）给出了初步的设想，认为电子虽然说是绕着原子核在告诉运转，但是电子必须在特定的轨道上运动，而这样的轨道本身是量子化的，不是连续的，说得通俗一些，电子只能在特定的轨道上运动，不能“随便乱跑”，如此一来，电子就不会撞到原子核上了。再说通俗一些，玻尔其实是用“结果”解释了“原因”，因为"电子只能在固定轨道上运动"，所以"电子只能在固定轨道上运动"，自然不能掉进原子核里了。

玻尔的解释比较勉强，但是有一个事情玻尔是说对了，就是电子是在特定的轨道上运动的，而这样的轨道不是连续的，是量子化的轨道。至于电子为什么不能掉进核里，还需要等另一个伟大人物的出现。

在玻尔提出氢原子轨道模型13年之后，这个伟大人物出现了，就是薛定谔（奥地利物理学家，-），提出了量子力学中最基本的力学方程：薛定谔方程，完美解释了电子为何不会掉进核里。

在我们传统理解中，电子应该是一个小球球，绕着原子核在旋转，其实这种理解是来自我们对宏观物质的观察，自然而然代入的，实际上微观粒子并不是简单的“实心小球”，而是具有“波粒二象性”，通俗说，微观粒子既可以看成“实心小球”，也可以看成"波"，这个特点与光子一样。最先提出粒子有"波粒二象性"的是一个法国人，名叫德布罗意（法国物理学家，-），认为所有的物质都具有波动性，被称为“物质波”。既然电子可以被看成一种“波”，那么波动方程在哪里呢？

年，薛定谔提出了量子力学最重要的基本方程，薛定谔方程。

现在就到了我们这篇文章的重点了，我们要推导薛定谔方程。

1、既然我们把电子看成了“波”，那我们看看一般的“波”长成什么样子？

我们考察一个最简单的单色平面波，就像上图一样，非常简单，角频率

，周期

，振幅

，频率

，波长

，与普通的波没有什么区别，我们有：

根据爱因斯坦的光量子理论，一个粒子的能量

，这里的

是普朗克常数，

是频率。此外，为了让公式看起来简约，定义约化的普朗克常数

再定义波矢

我们还要引入德布罗意的物质波公式

，这里的

是粒子的动量，对物质波公式做一些变换

得到

同时，我们对波的角频率

也做一些变换，

到此，我们针对最普通的单色平面波的基本公式就完成了推导。

2、对于一个单色平面波，我们通常给出的波函数可以表示成余弦函数，或者正弦函数，类似

这里引入非常著名的欧拉公式

利用欧拉公式，我们就可以把上面的实数波函数，转变成带虚数

的

指数函数

也就是，

我们把上面推导出来的

，以及

代入上面的波函数，就会有

方程(1)，同时我们把坐标位置

换成

方程（1）是我们把粒子看成“波”之后得出的波函数，但是这个波函数还不是一个运动方程，我们需要波函数的运动方程。

3、我们对方程（1）对时间

进行一阶微分,我们就会得到:

方程（2）

请注意，我们这里应用了一个微分定理

接着，对

求

的二阶微分，看看有什么结果？

二阶微分

方程（3）

我们把方程（2）的两边都乘以虚数

和

，我们会得到：

，这里我们利用了虚数的性质：

即：

方程（4）

对方程（3）的两边乘以

，并且把负号放在另一边，有：

即：

方程（5）

4、现在，我们要对

求

一阶微分。

即：

方程（6）

这里，我们依然使用了微分的一个定理，

我们对方程（6）的两边乘以

，并且把负号挪到另一边

即：

方程（7）

接着，我们继续对

进行

的二阶微分

即：

我们接着把

和负号挪到另一边，就会有：

方程（8）

5、现在我们把我们推导出来的方程（4）、（5）、（7）、（8）放在一起

6、好，到这里，我们已经成功了一大半了，不过还差一点。这里既然有能量

，动量

，那么这两者之间又有什么联系呢？

我们知道，在经典力学中，一个物体的动能

，动量

两边平方

，在两边都除以

，得到

也就是

方程（9）

7、我们现在对方程（8）的两边乘以

得到：

我们再利用公式（9）把上面方程左边的

替换成能量

就会有：

方程（10）

这时候，我们利用方程（4）把上面公式中左边的

替换掉

就有：

方程（11）

方程（11）便是鼎鼎大名的薛定谔方程！

我们对方程（11）还要再做点简化工作，用拉普拉斯算符来替换二阶微分的符号

即：

代入方程（11）中得到

方程（12）

方程（12）则是拉普拉斯形式的薛定谔方程，简化了一些。

8、

总结

因为篇幅有限，我们今天就先得到薛定谔方程的最终形式，至于薛定谔方程到底是啥物理意义？我们下期再说。